Systemy Liczbowe - Pewniak Maturalny 2026

O co chodzi z bazą systemu?

Na co dzień używamy systemu dziesiętnego, ale komputery "myślą" inaczej. W informatyce kluczowa jest podstawa (baza) systemu, oznaczana zazwyczaj jako $p$ . To ona definiuje, ilu cyfr możemy użyć do zapisu liczby:

Mała baza (np. p = 2)
Mamy do dyspozycji mało cyfr (tylko 0 i 1). Zapis liczby staje się przez to bardzo długi, ale jest idealny dla elektroniki (jest prąd / nie ma prądu).
Duża baza (np. p = 16) Mamy dużo znaków (cyfry 0-9 oraz litery A-F). Zapis liczby jest bardzo krótki. Świetnie nadaje się do zapisywania np. kolorów w HTML czy adresów w pamięci.

Przykład: Zapis liczby dziesiętnej $13$ w BIN

13 = 8 + 4 + 0 + 1

Przykład: Zapis liczby dziesiętnej $255$ w HEX

255 = 15×16 + 15×1

Trzy Święte Systemy na Maturze

Na egzaminie musisz płynnie przechodzić między tymi trzema systemami. Zwróć uwagę na indeksy dolne!

MASZYNOWY

System Dwójkowy (BIN)

Baza $p = 2$ . Dozwolone cyfry: ${0, 1}$ . Podstawa działania każdego procesora.

1101_2

LUDZKI

System Dziesiętny (DEC)

Baza $p = 10$ . Zwykle nie piszemy indeksu dolnego, ale na maturze dla jasności warto to robić.

13_{10}

PAMIĘCIOWY

System Szesnastkowy (HEX)

Baza $p = 16$ . Cyfry 10-15 zastępujemy literami: $A, B, C, D, E, F$ .

D_{16}

Najważniejsze Algorytmy Przeliczania

DEC ➔ Inny (Dzielenie z resztą)

Dzielimy liczbę przez nową bazę i spisujemy reszty z dzielenia. Wynik czytamy od dołu!

Dzielenie całkowitoliczbowe ( $\text{div}$ )
Reszta z dzielenia ( $\text{mod}$ )

Inny ➔ DEC (Schemat Hornera)

Mnożymy każdą cyfrę przez wagę jej pozycji (kolejne potęgi bazy, licząc od prawej strony od zera).

*Tip: Pamiętaj, że cokolwiek do potęgi zerowej (np. $2^0$ ) daje $1$ .

Zadania: Zamiana Dziesiętny na Binarny

Zadanie

Przelicz liczbę dziesiętną na system dwójkowy:

21_{10}

Zapisz kolejne kroki z dzieleniem modulo.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Dzielimy 21 przez 2
$21 : 2 = 10$ , reszta $1$ .
2
Krok 2: Kontynuujemy dzielenie wyników
$10 : 2 = 5 \quad \text{r. } 0$ $5 : 2 = 2 \quad \text{r. } 1$ $2 : 2 = 1 \quad \text{r. } 0$ $1 : 2 = 0 \quad \text{r. } 1$
3
Krok 3: Czytamy reszty od dołu!
Zapisujemy wszystkie zebrane reszty od ostatniej (na samym dole) do pierwszej (na samej górze).
4
Krok 4: Wynik końcowy
$21_{10} = 10101_2$

Sprawdźmy, czy wagi pozycji się zgadzają:

2⁴=16

2³=8

2²=4

2¹=2

2⁰=1

16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21

Zadania: Zamiana Binarny na Dziesiętny

Zadanie

Przelicz liczbę dwójkową na system dziesiętny:

1101_2

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Podpisz wagi (potęgi dwójki) nad cyframi
Idziemy od prawej strony, zaczynając od indeksu 0!
Cyfry: $\quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 1$
Potęgi: $\quad 2^3 \quad 2^2 \quad 2^1 \quad 2^0$
2
Krok 2: Wymnóż cyfry przez ich wagi
$1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$
3
Krok 3: Dodaj wyniki
$= 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1$
$= 8 + 4 + 0 + 1 = 13$
Odpowiedź: $1101_2 = 13_{10}$ .

💡 Uwaga na potęgę zerową!

Najczęstszy błąd maturzystów to uznanie, że $2^0 = 0$ . Pamiętaj na zawsze: $2^0 = 1$ . Skrajna prawa jedynka w systemie binarnym zawsze dodaje $1$ do wyniku końcowego (wskazuje, że liczba jest nieparzysta).

O co chodzi z bazą systemu?

Trzy Święte Systemy na Maturze

System Dwójkowy (BIN)

System Dziesiętny (DEC)

System Szesnastkowy (HEX)

Najważniejsze Algorytmy Przeliczania

DEC ➔ Inny (Dzielenie z resztą)

Inny ➔ DEC (Schemat Hornera)

Zadania: Zamiana Dziesiętny na Binarny

Zadanie

Zadania: Zamiana Binarny na Dziesiętny

Zadanie

💡 Uwaga na potęgę zerową!

Nadal czujesz się niepewnie?